Matematika dan Pembelajaran Matematika

Matematika adalah sistem aksiomatik deduktif formal
Pembelajaran matematika merupakan sistem penyajian objek matematika yang disesuaikan dengan kematangan/kesiapan struktur kognitif peserta didik.

A. Matematika dan Ciri Pokok Matematika

Matematika sebagai sistem yang deduktif formal, mengandung arti bahwa matematika harus dikembangkan berdasarkan atas pola berpikir/ penalaran deduktif dan setiap prinsip, teorema, sifat, dall dalam matematika harus dibuktikan kebenarannya secara formal berdasarkan kebenaran konsistensi. Jika pernyataan-pernyataan itu telah dibuktikan kebenarannya, maka pernyataan tersebut dapat diterima sebagai komponen sistem matematika. Walaupun kita ketahui bahwa tidak semua prinsip dalam matematika dibentuk atau ditemukan melalui pola pikir deduktif tetapi terdapat prinsip dalam matematika diperoleh melalui pola pikir induktif – empiris. Namun semua prinsip dalam matematika, harus dibuktikan dengan menggunakan penalaran deduktif.
Ciri pokok matematika adalah (1) matematika memiliki obyek kajian abstrak, (2) matematika mendasarkan diri pada kesepakatan, (3) matematika sepenuhnya menggunakan pola pikir deduktif, (4) matematika dijiwai dengan kebenaran konsisten (Soedjadi, 1994 : 1)

B. Pengertian Geometri

Istilah ”geometri” berasal dari bahasa Yunani yang berarti ”ukuran bumi”, maksudnya mencakup segala sesuatu yang ada di bumi. Geometri kuno sebagian besar dimulai dari kegiatan praktis bersifat empiris, berupa pengukuran untuk keperluan pertanian pada orangorang Babylonia dan Mesir. Kemudian berkembang menjadi kegiatan untuk perhitungan panjang ruas garis, luas dan volum. Obyek-obyek geometri berupa obyek-obyek pikiran yang abstrak. Pengertian pangkal dalam geometri adalah titik, sedangkan pengertian-pengertian lainnya dalam geometri dapat dikembangkan dari titik.
Obyek-obyek geometri merupakan bagian dari obyek matematika yang abstrak. Obyek-obyek geometri antara lain titik, garis, sinar garis, ruas garis, sudut, segitiga, jajar-genjang, lingkaran, elllip, parabola, kubus, limas, tabung, bola, elipsoida, hiperboloida, hiper paraboloida, dan masih banyak obyek geometri yang lain.
Seperti halnya, cabang matematika lainnya, geometri merupakan sistem aksiomatik-deduktif yang sangat ketat, dan mengalami perkembangan yang sangat pesat. Namun untuk keperluan pembelajaran, geometri dapat diajarkan dengan pendekatan kontekstual, pendekatan empiris – induktif, dan pendekatan informal. Pada jenjang pendidikan yang lebih tinggi, perlu dilakukan pendekatan deduktif aksiomatis untuk membuktikan dalil-dalil geometri sehingga dapat mempertajam penalaran deduktif. Disamping geometri Euclides, berkembang pula geometri elliptik, geometri hiperbolik, geometri fraktal, dan mungkin masih ada geometri lain yang akan/sedang dikembangkan.

C. Persoalan Mendasar Pada Pembelajaran Geometri
1. Pemahaman tentang konsep-kosep dasar geometri.
a. Sudut sebagai himpunan titik-titik.
b. Segitiga sebagai himpunan titik-titik.
c. Jajar-genjang sebagai himpunan titik-titik.
d. Kubus sebagai himpunan titik-titik

2. Pemahaman tentang relasi antara obyek-obyek geometri.
a. Relasi antara titik dan lingkaran
b. Relasi antara garis dan garis.
c. Relasi antara garis dan kubus

3. Pemahaman tentang operasi antara obyek-obyek geometri.
a. Operasi antara garis dan garis
b. Operasi antara garis dan garis lengkung (kurva).
c. Operasi antara kurva dan kurva.
d. Operasi antara garis dan kubus

4. Mencampur-aduk antara obyek geometri dan obyek fisik.
Perhatikan kerancuan pernyataan-pernyataan berikut ini.
a. Kubus memiliki 8 buah pojok.
b. Keliling lingkaran 154 m.
c. Luas persegi panjang 2 m2.
d. Titik-titik A, B, dan C tak segaris. Ruas garis AB sama dengan ruas garis BC.
e. Memindahkan titik 5 satuan ke kanan, 3 satuan ke atas.

5. Mencampur-aduk antara obyek geometri dan obyek aljabar
Perhatikan kerancuan pernyataan-pernyataan berikut ini.
a. y = 2x + 3, dengan x, y R, merupakan garis lurus.
b. y = 2x + 5 dan 2y – 4x + 10 = 0, merupakan 2 garis sejajar.
c. (2,3) merupakan titik yang tak terletak pada y 2 = 4x.

6. Mencampur-aduk antara relasi obyek geometri dan obyek fisik
a. Titik P berada di sebelah kanan garis l.
b. Titik Q berada di luar lingkaran.
c. Parabola y = 2x2 – 4, membuka ke atas.

7. Mencampur-aduk antara relasi obyek geometri dan relasi obyek aljabar.
a. Titik P(2,3) memenuhi persamaan y = 2x – 1.
b. (3,4) tak terletak pada persamaan y = 2x.
c. y = 2x + 5 memotong y = -x + 4.

D. Topik-Topik Terpilih
1. Transformasi bidang pada Geometri Transformasi.
a. Pencerminan (refleksi)
b. Pergeseran (translasi)
c. Rotasi (perputaran)

2. Gambar Stereometris Bangun Ruang
a. Gambar stereometris kubus.
b. Gambar stereometris limas
c. Gambar stereometris prisma
3. Irisan bidang datar terhadap kubus.
a. Bidang datar alpha melalui tiga titik yang tidak segaris.
b. Bidang datar alpha melalui dua titik dan sejajar suatu garis.
c. Bidang datar alpha melalui satu titik dan tegak lurus suatu garis.

3. Sudut Bidang Tiga (SBT)
a. Pengertian SBT.
b. Unsur-unsur SBT
c. Sudut Tumpuan
d. Sudut Bidang Tiga Kutub
e. Dalil-dalil

Latihan
Hasil proyeksi garis lurus pada bidang datar adalah garis lurus. Buktikan!

Gunakan dalil-dalil sebelumnya.
1. Melalui dua garis berpotongan dapat dibuat tepat sebuah bidang.
2. Jika dua garis sejajar, satu garis memotong bidang V maka garis yang lain tentu memotong bidang V.
3. Garis tegak lurus bidang.

Hasil pencerminan suatu garis lurus adalah garis lurus. Buktikan.

Gunakan dalil-dalil sebelumnya.
1. Jika hasil pencerminan A, B berturut-turut adalah P, dan Q, maka jarak AB sama dengan jarak PQ.
2. Tiga titik terletak pada satu garis lurus.

Jika suatu segitiga ditranslasikan maka hasilnya tetap segitiga yang kongruen dengan segitiga semula. Buktikan.

Gunakan dalil-dali sebelumnya.
1. Translasi suatu garis lurus, tetap merupakan garis lurus.
2. Tiga titik terletak pada satu garis lurus.

Terdapat tepat satu bidang datar yang melalui sebuah titik P dan tegak-lurus suatu garis m, yang diketahui. Buktikan.

Tunjukkan bahwa persamaan bidang datar adalah Ax + By + Cz + D = 0, dengan A,B,C bilangan riel dan ketiganya tak bersama-sama nol. Buktikan.

Jika garis k tegak-lurus m, k tegak-lurus n, m dan n dua garis yang berpotongan, maka garis k tegak lurus bidang yang melalui n dan m. Buktikan.

Gunakan dalil-dalil sebagai berikut.
1. Sudut dua garis bersilangan
2. Dalil dua segitiga kongruen.

Jika tiga bidang saling berpotongan, maka garis potongnya melalui satu titik atau ketiga garis potongnya saling sejajar. Buktikan.


E. Rangkuman
1 Perlu dibedakan secara tajam antara obyek geometri dan obyek fisik/obyek visual. Obyek Geometri merupakan obyek kajian yang abstrak, tidak dapat dilihat, tidak dapat diraba, tidak berwarna. Obyek geometri dapat dinyatakan dengan secara tertulis dalam bentuk simbol atau gambar, dan dapat dinyatakan secara lisan berupa nama atau istilah.

2. Terdapat keterkaitan antara obyek aljabar dan obyek geometri.

3. Persamaan merupakan obyek aljabar, sedangkan grafik himpunan penyelesaian persamaan merupakan obyek geometri.


Tes Formatif
1. Tulislah teorema tentang garis tegak lurus bidang, kemudian buktikan teorema tersebut.
2. Proyeksi garis lurus pada bidang datar merupakan garis lurus. Buktikan.
3. Jelaskan relasi antara titik dan parabola.
4. Jelaskan operasi antara garis dan lingkaran.
5. Tulislah definisi obyek geometri berikut ini sebagai himpunan titik-titk pada suatu bidang datar.
a. Ruas garis AB.
b. Sudut
c. Segitiga